PERTURBATIONS ORBITALES

( suite et fin )

	CONTENU : Mis à jour décembre 2004, revu sept 2011 Retour au cours précédent I CAS DES ORBITES CIRCULAIRES NON EQUATORIALES II CAS DES ORBITES CIRCULAIRES ET EQUATORIALES ( orbites géostationnaires notamment) III CAS DES ORBITES EQUATORIALES NON CIRCULAIRES

Dans le cours précédent sur les perturbations, il n'a été abordé dans les équations de Gauss, que le cas général des orbites non circulaires ( e non nulle )et non équatoriales ( i non nul ). Ces cas ne peuvent pas se déduire simplement des équations générales, car des singularités mathématiques apparaissent, singularités couplées avec des singularités géométriques de non définitions de certains paramètres, par exemple si e = 0, w n'a plus de sens, si de plus i=0 c'est W qui perd alors son sens et w encore plus.

On trouvera une excellente présentation de ce problème dans les ouvrages du CNES dont j'ai tiré ce résumé : TRAJECTOIRES SPATIALES DE O ZAROUATI, CNES, Cépaduès Editions et MECANIQUE SPATIALE, Tome 1, CNES, Cépaduès Editions.

La résolution du problème repose sur la définition, dans chaque cas particulier, de paramètres adaptés, naturellement liés aux paramètres classiques.

Rappelons les définitions de paramètres particuliers combinaison des paramètres orbitaux classiques, avec comme remarques que certains de ces angles sont mesurés, sauf cas particuliers, dans des plans différents :

W^*=W+w	Longitude du périgée	W, w non coplanaires
a=w+q	Argument de latitude du satellite	w, q coplanaires
W+w+q	Longitude orbitale du satellite	W, w, q non coplanaires
l=W+w+M	Longitude moyenne du satellite	W, w, M non coplanaires

L'examen des équations de Gauss du cas général montre qu'il peut y avoir des divisions par sin i et e, donc des difficultés aux faibles inclinaisons et aux faibles excentricités.

Dans chaque cas particulier, les changements de variables proposés, dits "paramètres adaptés", permettent un "meilleur conditionnement " des équations, rendant l'intégration plus stable.

I CAS DES ORBITES QUASI-CIRCULAIRES NON EQUATORIALES :

C'est le cas des faibles excentricités seulement.

1°) Définition des paramètres adaptés :

Il est clair que la position du périgée devient indéterminée ainsi donc que w, donc la position du satellite en anomalie vraie q rapportée à l'axe focal n'a plus de sens, de même que l'anomalie moyenne M. Par contre, le nœud ascendant est toujours parfaitement défini et permet un repérage correct du satellite avec :

a =w+q	ou	l = w + M
ex = e cos w ey = e sin w		Vecteur excentricité
a, i, W		Classiques

2°) Equations de Gauss simplifiées :

Les équations de Gauss exactes sont d'une telle complexité qu'elles ne sont utilisées que pour des études très précise avec une modélisation parfaite des perturbations. Nombre de problèmes ne s'intéressent en réalité qu'aux dérives séculaires ( à long terme ) des paramètres orbitaux et pour y parvenir utilisent des équations dites simplifiées dans lesquelles on adopte r=a , e=0 , V=na comme valeurs approchées de a , e, V dans les coefficients des équations, ce qui donne un système plutôt agréable :

Orbites circulaires Equations simplifiées Mécanique spatiale tome 1, CNES, Cépaduès éditions, page 426

Avec Rp, Tp, Np les composantes de l'accélération perturbatrice sur le radial, l'orthoradial et le vecteur normal au plan orbital osculateur (défini par les vecteurs r et V à chaque instant t).

3°) Conséquences sur l'impact de manœuvres impulsionnelles :

Dans une maintenance de satellite en orbite circulaire non équatoriale, la correction des paramètres orbitaux est réalisée par une ou plusieurs manœuvres mettant en œuvre un incrément vectoriel de vitesse DV de composantes DV_R, DV_T, DV_N avec comme résultat les variations des paramètres ( voir cours précédent ) :

NB : Vous ferez attention au fait que la perturbation pourrait être décomposée sur d'autres axes que ceux que j'ai adoptés, par exemple, le tangentiel t, le normal n ( perpendiculaire à t dirigé vers la concavité ) et le normal classique w au plan orbital osculateur ( Voir O Zarouati page 205, trajectoires spatiales, CNES, Cépaduès Editions)

II CAS DES ORBITES QUASI-CIRCULAIRES ET QUASI-EQUATORIALES :

C'est le cas à la fois des faibles inclinaisons et des faibles excentricités, typiquement l'orbite géostationnaire perturbée.

1°) Définition des paramètres adaptés :

Dans les 2 formulations ci-dessous du vecteur h ( aucun rapport avec le moment cinétique ), comme i est très petite, le vecteur h représente le " petit vecteur rotation" du plan orbital par rapport au plan équatorial. Certains l'appellent aussi vecteur inclinaison, il est alors tout naturellement noté i ( i_x , i_y )

ix =hx = 2 sin( i/2 ) cos W iy =hy = 2 sin( i/2 ) sin W	ix =hx = sin i cos W iy =hy = sini sin W		ix =hx = i cos W iy =hy = i sin W
e*x = e cos ( w+W ) e*y = e sin ( w+W )		Quasi vecteur excentricité
l =w+W+M		Longitude moyenne du satellite comptée depuis la ligne vernale
a		Classique
		Vecteur dérive d, qui remplace les 2 paramètres l et a

2°) Equations de Gauss simplifiées :

Orbites circulaires équatoriales Equations simplifiées Mécanique spatiale tome 1, CNES, Cépaduès éditions, page 426

3°) Conséquences dune manœuvre impulsionnelle :

La maintenance d'un satellite en orbite circulaire équatoriale nécessite une correction des paramètres orbitaux réalisée par une ou plusieurs manœuvres avec un incrément vectoriel de vitesse DV de composantes DV_R, DV_T, DV_N avec comme résultat les variations des paramètres ( voir cours précédent ) :

Orbites circulaires équatoriales Equations simplifiées Mécanique spatiale tome 1, CNES, Cépaduès éditions, page 426
Avec	hx = 2 sin( i/2 ) cos W=i cos W hy = 2 sin( i/2 ) sin W= i sin W

III CAS DES ORBITES NON CIRCULAIRES, QUASI- EQUATORIALES :

C'est le cas des faibles inclinaisons seulement, plus rarement utilisées.

1°) Définition des paramètres adaptés :

Il est clair que c'est la position du nœud ascendant qui devient incertaine. W peut même présenter des discontinuités de 180° environ, le nœud ascendant pouvant devenir descendant sur un basculement du plan orbital, lorsque i s'annule et change de signe. Il en résulte donc aussi une imprécision sur w. Ce sont donc i, w et W qui posent problème. Par contre, le périgée est bien défini et ainsi que M.

a, e	Classiques
W* =w+W	Quasi longitude vernale du périgée
hx = i cos W hy = i sin W	Petit vecteur rotation par rapport au plan équatorial, pour i petit
M	Anomalie moyenne classique

2°) Equations de Gauss simplifiées :

Les équations simplifiées apparaissent avec une égalité spéciale ( i voisin de 0 cosi=1 et sini=0)

j désigne l'anomalie excentrique liée à M =j - e sin j.

3°) Conséquences dune manoeuvre impulsionnelle :

Nous laissons le lecteur traduire, par analogie avec I et II les conséquences d'une manœuvre impulsionnelle en fonction des composantes de l'incrément de vitesse impulsionnel.

Guiziou Robert décembre 2004, sept 2011